गणित के सवाल दिमाग घुमा देते हैं। खासतौर पर कैलकुलेशन करना काफी मुश्किल होता है। आइए आज कैलकुलेशन की शॉर्ट ट्रिक्स जानते हैं।

 11 से गुणा की ट्रिक्स

जिस संख्या को 11 से गुणा करना है। उसके दोनों अंकों को दोनों तरफ लिख दें और बीच में दोनों संख्याओं का जोड़ लिख दें, वही गुणनफल होगा। इसको नीचे बताए गए तरीके से समझें। जैसे हमने 45 को 11 से गुणा करना है।

हल

4 (4+5) 5

495

इस तरह 45x11=495

65x11=?

6 (6+5) 5 (यहां 6 और 5 को बीच में जोड़ दिया।

6(11)5 (इनको जोड़ने पर 11 आया तो पहला अंक यानी 1 6 के साथ जुड़कर 7 हो जाएगा)

715

इस तरह

65x11=715

दो अंकों की संख्या का वर्ग निकालना

जिस संख्या का वर्ग निकालना है, उसके पहले अंक को अपने से एक ज्यादा अंक से गुणा कर दें और अंत का दो अंक 25 होगा। जैसे हमें 35 का वर्ग निकालना है।

35x35=?

यहां दहाई का अंक 3 है जिसे एक बढ़ाकर यानी 4 से गुणा करना है जो 12 हो जाएगा। इस तरह इसका वर्ग

1225 हो जाएगा।

इसी तरह

65x65=4225

9 से गुणा करने की ट्रिक

किसी बड़ी संख्या को 9 से गुणा करना हो तो उस संख्या के अंत में 0 लगा दें और अब जो संख्या बने उससे उसको संख्या को घटा दें जिसको आप 9 से गुणा करना चाहते हैं। जैसे हमें 87 को 9 से गुणा करना है तो हम ऐसे करेंगे।

870-87=783

गणित ट्रिक्स और शॉर्टकट

1. वर्गमूल

अनुमान और गुणा करके किसी संख्या का वर्गमूल ज्ञात करना एक लंबी प्रक्रिया हो सकती है। किसी संख्या का वर्गमूल ज्ञात करने की एक सरल विधि नीचे दी गई है:

उदाहरण: 2116 का वर्गमूल ज्ञात कीजिए

2116 का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए:

चरण 1: अंक को उसके स्थान पर देखें। इस मामले में, यह 6 है। अब, 1-9 के बीच की जाँच करें, सभी संख्याओं के वर्ग में एक के स्थान पर "6" है। उत्तर है 42 = 16 और 62 = 36.

चरण 2: अब, जांचें कि 1 से 9 के बीच की किस संख्या का वर्ग दी गई संख्या के पहले दो अंकों के सबसे करीब है। इस स्थिति में, 1 से 9 के बीच की संख्या का योग 21 के निकटतम है। उत्तर 42 = 16 और 52 = 25 है।

अतः, 44, 46, 54 और 56 में से एक संख्या 2116 का वर्गमूल है।

चरण 3: चरण 2 में आपको जो दो संख्याएँ मिलीं, उनमें से प्रत्येक को संख्या श्रृंखला में अगली संख्या से गुणा करें। यानी, 4×5 = 20 और 5×6 = 30. चूंकि 20, 21 के करीब की संख्या है, इसलिए उत्तर या तो 46 या 44 होना चाहिए। गुणा करें और अपने उत्तर की जांच करें।

नीचे दिए गए उदाहरण से स्वयं को जांचें:

उदाहरण: 1024 का वर्गमूल क्या है?

समाधान:

चरण 1: 22 = 4 और 82 = 64

चरण 2: 32 = 9

चरण 3: 3×4 = 12. चूँकि 12, 10 से बड़ा है, वर्गमूल 32 होगा।

2. घनमूल

किसी संख्या का घनमूल शीघ्रता से ज्ञात करने के लिए नीचे दिए गए चरणों का पालन करें।

उदाहरण: 9261 का घनमूल क्या है?

चरण 1: 1 से 9 के बीच की संख्याएँ ज्ञात करें जिनका घन इकाई के स्थान पर मौजूद अंक के बराबर हो; यहाँ, यह 1 है। इसलिए, हमें 1×1×1 = 1 मिलता है।

चरण 2: संख्या का पहला अंक देखें, इस मामले में, 9. 9, 2 के घन (2×2×2 = 8) और (3×3×3 = 27) के बीच स्थित है। चूँकि 8, 9 के निकटतम है, 9261 का घनमूल 21 है।

नोट: 5 अंकों की संख्या का घनमूल ज्ञात करने के लिए, चरण 2 में पहले अंक के बजाय पहले दो अंकों का उपयोग करें।

इस युक्ति को और भी बेहतर ढंग से समझने के लिए स्वयं एक उदाहरण आज़माएँ:

उदाहरण: 32768 का घनमूल क्या है?

चरण 1: 23 = 8

चरण 2: 33 = 27 और 43 = 64

चूँकि 27, 32 के करीब है, 32768 का घनमूल 32 होगा।

जो उम्मीदवार किसी संख्या के वर्ग और घन की गणना करने के लिए शॉर्टकट ट्रिक्स की तलाश में हैं, वे लिंक किए गए लेख पर जा सकते हैं।

3. द्विघात समीकरण

त्वरित उत्तर खोजने के लिए आसान तरकीबों से हल किए गए द्विघात समीकरणों के दो उदाहरण नीचे दिए गए हैं:

उदाहरण: x² – 18x + 45 = 0

चरण 1: समीकरण में x² के गुणांक और स्थिरांक को गुणा करें। इस स्थिति में, 1×45 = 45

चरण 2: x के गुणांक के साथ "-1" को गुणा करें। इस स्थिति में, -1× (-18) = 18

चरण 3: इसलिए, x का मान 15 और 3 (3+15=18 और 3×15=45) होगा। याद रखें, संकेतों के लिए, यदि चरण 1 और 2 दोनों में प्राप्त उत्तर सकारात्मक है, तो x के दोनों मान सकारात्मक होंगे। यदि एक भी ऋणात्मक है, तो x का मान ऋणात्मक होगा। 

यहां, चरण 1 और 2 में प्राप्त मान सकारात्मक है इसलिए x का मान सकारात्मक होगा। तो, उत्तर x = 15, 3 है

उदाहरण: x²-5x-6 = 0

चरण 1: समीकरण में x² के गुणांक और स्थिरांक को गुणा करें। इस स्थिति में, 1×(-6) = (-6)

चरण 2: x के गुणांक के साथ "-1" को गुणा करें। इस स्थिति में, (-1)× (-5) = 5

चरण 3: इसलिए, x का मान 6 और 1 (6-1=5 और 6×1=6) होगा। याद रखें, संकेतों के लिए, यदि चरण 1 और 2 दोनों में प्राप्त उत्तर सकारात्मक है, तो x के दोनों मान सकारात्मक होंगे। यदि एक भी ऋणात्मक है, तो x का एक मान ऋणात्मक होगा।

चरण 4: यहां चरण 1 में उत्तर नकारात्मक है। इस प्रकार, x का एक मान ऋणात्मक होगा। यदि चरण 1 में उत्तर नकारात्मक है, तो x का छोटा मान नकारात्मक होगा। यदि चरण 2 में उत्तर नकारात्मक है, तो बड़ा मान नकारात्मक होगा। 

तो, x= 6, -1

ऐसे समीकरणों के बारे में अधिक जानें और लिंक किए गए लेख में द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए शीर्ष युक्तियाँ प्राप्त करें ।

4. संख्या शृंखला

यदि कोई उम्मीदवार किसी संख्या श्रृंखला में अपनाई जाने वाली प्रणाली के बारे में भ्रमित है, तो श्रृंखला में दो संख्याओं के बीच अंतर ज्ञात करना सबसे आसान तरीका है। 

उदाहरण: 46 62 87 123 ? 236

समाधान: 

गणित के गुर - संख्या श्रृंखला

चरण 1: दो संख्याओं के बीच अंतर ज्ञात करने से प्रारंभ करें

चरण 2: एक बार जब आपको अंतर मिल जाए, तो आप देखेंगे कि संख्याओं के वर्ग वाले पैटर्न का पालन किया गया है। 

4 2 = 16

5 2 = 25

6 2 = 36

7 2 = 49

8 2 = 64

संख्या श्रृंखला प्रारूप में पूछे गए किसी भी अन्य प्रश्न के लिए और उम्मीदवार को पैटर्न का पालन करने में किसी भी प्रकार की उलझन का सामना करना पड़ता है, तो वे सीधे श्रृंखला में दो संख्याओं के बीच अंतर पा सकते हैं, इससे इसे हल करना आसान हो जाएगा। 

इस विषय के अंतर्गत पूछे जाने वाले प्रश्नों के प्रकार और अवधारणा के बारे में अधिक जानने के लिए उम्मीदवार संख्या श्रृंखला पृष्ठ पर जा सकते हैं।

5. चक्रवृद्धि ब्याज

नीचे कुछ सूत्र दिए गए हैं जो चक्रवृद्धि ब्याज की समस्याओं को हल करते समय परीक्षा के दौरान आपका कुछ समय बचा सकते हैं:

(ए) यदि समय के पहले अंतराल के लिए चक्रवृद्धि ब्याज x% है और समय के दूसरे अंतराल के लिए y% है, तो,

2 अंतरालों के बाद ब्याज की शुद्ध प्रभावी दर = x + y + (xy/100)

नोट: यह तभी लागू होता है जब दोनों समय अंतराल बराबर हों)

(बी) यदि कोई धनराशि, मान लीजिए P, एक निश्चित अवधि में, मान लीजिए T, चक्रवृद्धि ब्याज पर A1 हो जाती है और वही धनराशि, चक्रवृद्धि ब्याज पर "2T" समय में A2 हो जाती है, 

तब, 

पी/ए1 = ए1/ए2

(सी) यदि एक धनराशि, मान लीजिए P, एक निश्चित समयावधि में, मान लीजिए T, चक्रवृद्धि ब्याज पर A1 हो जाती है और वही धनराशि, T+1 वर्ष के बाद चक्रवृद्धि ब्याज पर A2 हो जाती है

तब, 

ब्याज दर = {(A2-A1) / A1} × 100

उदाहरण के लिए: राज श्याम को 16% प्रति वर्ष की दर से चक्रवृद्धि ब्याज देता है, जो त्रैमासिक रूप से चक्रवृद्धि होता है। राज द्वारा प्रति वर्ष भुगतान की जाने वाली प्रभावी ब्याज दर क्या है?

समाधान: 

वार्षिक ब्याज दर = 16% 

तो, ब्याज का भुगतान त्रैमासिक किया जाता है, जो 4 बार की किस्त बनती है। अत: प्रति तिमाही ब्याज दर = 16/4 = 4%

(ए) x + y + (xy/100) का उपयोग करना।

4 + 4 + {(4×4)/100} = 8 + 0.16 = 8.16% दो तिमाहियों के लिए

चार तिमाहियों के लिए, 8.16% + 8.16% = 16.32%

6. साधारण ब्याज

नीचे दिए गए सूत्रों का संदर्भ लें और मात्रात्मक अनुभाग के लिए अंतिम परीक्षा में प्रश्नों को हल करते समय कुछ समय बचाएं:

(ए) 2 वर्षों के लिए साधारण और चक्रवृद्धि ब्याज के बीच अंतर = {(पीआर) 2 / (100) 2 }

(बी) 3 वर्षों के लिए साधारण और चक्रवृद्धि ब्याज के बीच अंतर = {पीआर 2 (300+आर) / 100 3 }

उदाहरण के लिए: एक निश्चित राशि पर 4% प्रति वर्ष की दर से दो वर्षों के लिए साधारण ब्याज और चक्रवृद्धि ब्याज के बीच का अंतर, जब वार्षिक रूप से संयोजित किया जाता है, 800 रुपये होता है। वह धनराशि क्या है जिस पर ब्याज प्राप्त हुआ है?

समाधान:

निम्नलिखित (ए) सीआई-एसआई = {(पीआर) 2 / (100) 2 }

⇒800 = {(पी×4) 2 / (100) 2 }

⇒P = रु. 707.11

अभ्यर्थी लिंक किए गए लेख पर विभिन्न सरकारी परीक्षाओं के लिए मात्रात्मक योग्यता पाठ्यक्रम की जांच कर सकते हैं।

7. समय एवं कार्य

तीन लोगों द्वारा एक साथ काम करते समय किसी कार्य को पूरा करने में लगने वाले समय का पता लगाने का एक आसान तरीका नीचे दिया गया है:

उदाहरण: तीन मजदूरों, अजीत, सुमित और रमेश को एक ही काम को पूरा करने में क्रमशः 10, 8 और 20 दिन लगते हैं। यदि वे तीनों एक साथ काम करें तो उन्हें कितना समय लगेगा?

समाधान: 

10, 8 और 20 का एलसीएम = 40

अजीत की दक्षता = 40/10 = 4

सुमित की दक्षता = 40/8 = 5

रमेश की दक्षता = 40/20 = 2

तीनों द्वारा एक साथ लिया गया समय = {(एलसीएम) / (तीनों की दक्षता)} = 40/11 दिन

तो 3 लोगों द्वारा एक ही काम को पूरा करने में लगने वाले समय की गणना करने के लिए = (कार्य की कुल इकाई) / सभी कार्यों की दक्षता)

समय और कार्य की अवधारणा के बारे में अधिक जानकारी और इस विषय पर आधारित प्रश्नों को हल करने के लिए शीर्ष युक्तियों के लिए, उम्मीदवार लिंक किए गए लेख पर जा सकते हैं।

8. सन्निकटन

सरल गुणन एक ऐसी चीज़ है जिसमें प्रतियोगी परीक्षाओं में गणित के प्रश्नों को हल करते समय हमारा अधिकतम समय लगता है। नीचे दो संख्याओं को गुणा करने का एक शॉर्टकट दिया गया है जो सन्निकटन और सरलीकरण से संबंधित प्रश्नों में आपकी मदद कर सकता है।

उदाहरण: 32 × 34 को हल करें

चरण 1: पहली संख्या (इस मामले में, 32) को दूसरी संख्या (इस मामले में, 3) के दहाई के अंक से गुणा करें।

हमें प्राप्त होता है, 32×3 = 96

चरण 2: चरण 1 में प्राप्त उत्तर में "0" जोड़ें। तो संख्या अब "960" हो जाएगी

चरण 3: 32 को दूसरी संख्या के एक अंक से गुणा करें, हमें प्राप्त होता है, 32×4 = 128

चरण 4: चरण 2 और चरण 3 में प्राप्त परिणाम जोड़ें।

तो उत्तर है 960 + 128 = 1088

लिंक किए गए लेख में सरलीकरण और सन्निकटन पर आधारित समान प्रश्नों को हल करें ।

9. 72 का नियम

72 के नियम का उपयोग उन प्रश्नों को हल करने के लिए किया जाता है जहां किसी निश्चित धनराशि को एक निश्चित अवधि में एक निश्चित ब्याज दर के साथ दोगुना करने की आवश्यकता होती है। 

याद रखने योग्य सूत्र:

निवेश किए गए वर्षों की संख्या = 72/ वार्षिक निवेश दर

निवेश दर = 72/ निवेश किए गए वर्षों की संख्या

निवेश दर x निवेश किए गए वर्षों की संख्या = 72

उदाहरण के लिए: यदि राज ने किसी मित्र के व्यवसाय में 500/- रुपये का निवेश किया, तो राज के निवेश को दोगुना होने में कितना समय लगेगा, यदि ब्याज दर 8% है?

समाधान:

तो, नियम 72 के अनुसार, 

8% ब्याज दर पर राशि दोगुनी होने की समय अवधि = 72/8 = 9 वर्ष